李昊阳四色定理新突破
前言
李昊阳（女）现郑州五中高三学生。我是昊阳爸爸李永安，工人身份。爱好四色定理多年，因思维固守，始终没有大的突破。由于孩子对此课题极感兴趣，觉得比电子游戏好玩儿。论思维和记忆都比我强。是昊阳另辟路径，发现了四色问题新构形。经过努力，关键时候常请假。我帮助查资料和验证。终于证明出了正规地图除六，七，八邻国外的所有邻国组成的任意地图着四色足够。就是说仅剩下由六，七，八邻国所参与的地图不可完全被四色证明。因此本课题称为四色定理新突破。
在这里要特别敬谢中科院数学研究所的王元老师及各位老师们在三十七年前对我的精心指导和热心帮助。
现证明：当正规地图附合以下欧拉公式:F5=12+3F9+4F10+……同时又要求每个相邻国的颜色都不相同的正规地图四色定理必然成立。公式中:F5表示5邻国个数，又称5邻图个数。F9表示9邻图个数，F10表示10邻图个数等。在以下各图中，分别用1,2,3,4表示四种颜色，a，b，c，d，e，m表示国家名称，即图名。红线和绿线表示肯普链，各图外的红；蓝方块表示其他图。因在四色定理的证明过程中，最大的难度就是色链的交叉，简称肯普交链。如图R中: 即红线4-2色链与绿线4-1色链交叉。
而以下分两步来证明F5=12+3F9+4F10+……的正规地图四色定理必然成立。
（一）.凤尾图换色法。凤尾图换色法可解决肯普交链难题。我们定义一个5邻图m紧邻4个5邻图之图为凤尾图，而又可称m为凤尾图且又为凤尾图的核心。如下图1至图6。 5邻图m分别紧邻a,d,b,e,四个5邻图。另外m又邻一个图c，而s为正整数，表示与c图的邻国数。当s=0时，c也是5邻图，当s＞0时c为多邻图。无论s等于多少其并不影响以下的色链交换和证明。在凤尾图中经过以下a，b，c，d，e之顺序进行色链交换，以下我们假令在对凤尾图的换色过程中存在肯普交链如图1至图5中的红线色链与绿线色链的交叉。为了方便，以下图1至图4中的肯普交链只许显现一条红线色链而把绿线色链暂时隐去。，但最终都会出现一条红线色链仅仅环围a，b，d，e中的其中一个色图。如此就绝对消除了肯普交链。如下图5中.红线a1-b3色链仅仅环围一个色图d2。如此则必有凤尾图的四色可约。而根据色链换色原理:即1-2色链交换通不过3-4色链等，反者同理。如图1中的红线d2-c4色链且又阻挡色链a3-1通过。由此在进行a3-1这条色链交换时仅在红方块图中变换而本图中其它色不变。这就变成了图2。
同理在图2中，若红色d2-e3色链不通，则图2可约。现令红线d2-e3色链通则环围b1-4色链。而在交换b1-4这条色链时仅在红方块图范围变换而本图的其它色不变，这就成了图3。
图3中又若红线a1-e3色链不通则图3可约。现令红线a1-e3色链通且环围色链c4-2，则在进行c4-2这条色链交换时仅影响红色方块图而本图其它色不变，就变换成了图4。
图4中已形成了红线2-1色链仅环围色e3-b4两个色，在交换色e3-b4时其它图之色不变，这就成了图5。
图5中由于红线a1-b3仅仅环围一个图色d2.这就绝对消除了肯普交链。
图5中把绿线a1-e4色链显现出来若不通则图5即刻可约。现令绿线a1-e4色链通且又不可能与a1-b3红线色链交叉，则可把色d2换为色d4和把色c2换成色c3，则m自然可换成色2。如图6。因此证得本凤尾图四色可约。同理无论凤尾图中的色位如何排布，经过如此换色都必然得出同样结果。
（二），现证：凤尾四色可约图在F5=12+3F9+4F10+……地图中必有不可避免集。现暂证凤尾四色可约图在F5=12+3F9地图中必然存在不可避免集。
在以下图a1,图a2和图a3中，小f代表各个国家，如f5表示本图为5邻图等。图a1中f9周围有9个红色3邻图f3。
（1）.若以图f3为基础，继续向外布图，使全部或个别的f3 布成f9，则新的f9外同样必然会出现新的f3组。一直到布完这张地图还是如此，这与我们的F5=12+3F9地图矛盾。
（2）把图a1中的红色图f3在蓝色图的辅助下都布成f5，则新的红色f5图外所邻图必然是红色图f4，如图a2。
如此在蓝色图的辅助下再把个别f4或全部f4布成f9而新的f9外所邻仍是f3组。这又与：F5=12+3f9地图矛盾。
若不如此则把红色f4图外布一个红色Q图，则红色Q图必然是9邻图，而红色f4图自然就变成了红色f5图。则红色5邻图m同时紧邻4个红色图f5。这就自然形成了凤尾图m。无论怎么布图循还，只要符合：F5=12+3F9地图就必然有凤尾图的不可避免集，如图a3。故凤尾图在地图：F5=12+3f9中必然存在不可避免集成立。同理凤尾图m在：F5=12+3f9+4f10+……地图中也必然存在不可避免集也成立。总之这是不可避免集规律，既然是规律，无论是在布图中还是在自然形成的图中，凤尾图都是不可避免集。又因凤尾图是可约构形图。因此F5=12+3f9+4f10+……四色定理也必然成立。由于F2，F3和F4都是可约图，则4F2+3F3+2F4+F5=12+3F9+4F10+……地图四色定理同样成立。证毕。
附：F5=12+3F9+4F10+......的任意地图之涂色法。
暂论F5=12+3F9涂色法
先看下图k：很显然在图k中每个凤尾图都由绿色5邻图相连接。所以用坍塌技术可使图K中各图完全坍塌。坍塌技术是先从每个凤尾图中的m图开始，再陆续坍塌与凤尾图连起来的所有绿色5邻图。很显然所剩余的图都可全部坍塌了。依次到最后一个图，除m图外所有新坍塌图之邻边都不大于4邻边。再按此顺序倒回来涂色。因在此涂色所邻之边都不大于4，因不大于4的涂色领边都可约，故涂四种颜色满足。直到最后所剩的m图是五邻边，因图m四色可约，故涂色成功。又假设把各凤尾图的连接断开，就是把其中的绿色5邻图变成9邻图，而9邻图无论怎样向前扩展变换。只要保持F5=12+3F9地图性质不变，必然会出现新的凤尾图。再从新的凤尾图坍塌回来。此9邻图就又变成了5邻图且又使原来的凤尾图连接了起来。故F5=12+3F9的任意地图必可全部坍塌。因此涂色成功。
同理可涂：F5=12+3F9+4F10+……的任意地图涂色且同样都不超过4种颜色，涂色完成。
2023年04月18日于郑州
来源：中国科技新闻网
责任编辑：周香慧
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